Se llaman ecuaciones integrales a ecuaciones donde la función incógnita se encuentra bajo el símbolo integral, en contraste con el típico problema integral donde el integrando es conocido, en estas ecuaciones la función que se desea determinar está en el integrando. Es por lo tanto directa la relación entres las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones integrales. En concreto, cómo veremos, cuando usamos en física el método de las funciones de Green para la resolución de ecuaciones diferenciales, el problema se transforma en una ecuación integral.

Existen varios tipos de ecuaciones integrales entre los cuales destacamos :

Ecuación de Fredholm de segunda especie

con

Ecuación de Fredholm de primera especie

con

Ecuación de Volterra de segunda especia

con si

Ecuación de Volterra de primera especie

con si

En todas estas ecuaciones, la función incógnita es y se suponen conocidas tanto la función impulsora cómo el Kernel de la ecuación integral

Para fijar ideas y antes de entrar a mostrar su relación con las funciones de Green, veamos un ejemplo mecánico en el que aparecen de forma natural ecuaciones de este tipo, considere la cuerda elástica del dibujo:

en el punto se coloca una partícula pesada causando un estiramiento de la cuerda de longitud , suponiendo que la longitud de la cuerda se tiene que y con lo que haciendo una balance de la fuerza vertical y suponiendo que el desplazamiento es lo suficientemente pequeño cómo para que la tensión de la cuerda sea la misma en todos los puntos, tenemos que:

Ahora queremos hallar el desplazamiento vertical y(x) en un punto cualquiera x , fijémonos en que:

con

con

de donde tenemos que:

con

con

Supongamos ahora un caso mas realista, en lugar de tener el peso concentrado en una hipotética partícula situada en el peso es una fuerza distribuida según la función fuerza , en virtud del principio de superposición, tendríamos ahora que:

Donde hemos sumado las contribuciones de todos los elementos de cuerda de peso al estiramiento provocado en el punto .

Ahora supongamos que conocemos la forma de la cuerda, es decir, es conocida y que queremos hallar la distribución que provoca dicha forma, nos encontramos delante de un problema integral de Fredholm de primera especie.

Más aun, imaginemos que ahora que la densidad de fuerza de la cuerda varía sinusoidalmente con el tiempo , debido a la linealidad del problema una distribución de fuerza sinosuidal del tipo dará un perfil sinusoidal dado por , sea $latex\ sigma(x’)$ la densidad de la cuerda tenemos que debido al movimiento armónico de la cuerda en el balance de fuerzas verticales , habrá que introducir un termino inercial dado por

Hagamos ahora

tenemos que:

Si ahora pretendemos hallar la forma de la cuerda en respuesta a la densidad conocida , nos encontramos ante un problema integral de Fredholm segunda especie

Siendo tenemos que:

Suponiendo la densidad constante y haciendo

Derivando respecto a x:

derivando de nuevo respecto a x tenemos que:

Cualquier solución a la ecuación diferencial de arriba que se anule en y(0)=y(l)=0 es también solución de la ecuación integral. Por lo tanto, el estudio de las ecuaciones integrales nos dan una vía alternativa al estudio de las posibles soluciones de muchos problemas de la física matemática.

Antes de mostrar, la relación de las ecuaciones integrales con las funciones de Green, haremos un mini recordatorio de este tema:

Consideremos el conjunto de todas las funciones complejas de variable real de cuadrado sumable, se define el producto escalar de dos funciones de estas

y se tiene que para todo complejo:

Además se define la norma de una función como sigue

Y se cumple que

para todo

si y solo si

Diremos que un sistema de funciones es ortonormal si se cumple que para cada par de funciones del sistema y por el momento llamaremos sistema completo de funciones ortonormales, a aquel sistema que permita escribir cualquiera de las funciones de cuadadrado sumable de nuestro espacio de funciones como

Nótese que

también es importante notar que si entonces:

con las o lo que es lo mismo

Recordemos que un operador lineal es una aplicación que transforma una de las funciones de nuestro espacio en otra. Un operador es lineal si satisface que para todo complejos . Dado un operador llamaremos operador adjunto de y lo denotaremos por al operador lineal que satisface que por ejemplo considérese el operador integral es decir tenemos que

y por lo tanto:

Si el operador lineal es un operador diferencial en una región finita, aparecerán términos de contorno y/o valores iniciales teniéndose entonces que:

+ terminos de contorno

Consideremos ahora el problema de hallar las eigenfuciones del operador lineal con autovalores y las eigenfunciones del operador adjunto con autovalores , en general ninguno de los sistemas de eigenfunciones , será ortonormal sin embargo se puede demostrar que :

*
*

Ahora presentaremos de forma muy básica el método basado en la resolución con las funciones de Green de la ecuación diferencial

sujete a condiciones de contorno (o de valor inicial)

En breve, el método consiste en resolver primero la ecuación :

escogiendo inteligentemente las condiciones de contorno que satisfacerá g(x,x’).

tomado el producto escalar con en ambos lados de la igualdad tenemos que:

+terminos de contorno

El termino es una integral que al resolverla por partes nos queda algo de la forma :

+ “términos de contorno desconocidos”

Se tiene por lo tanto que el termino también será de la forma

+ “términos de contorno desconocidos”

y que por lo tanto el termino sera de la forma

+ “términos de contorno desconocidos”

+ “términos de contorno conocidos”

Es aquí donde uno debe elegir inteligentemente los términos de contorno a fin de que se anulen aquellos términos desconocidos.

Como ejemplo resolveremos la ecuación

con la condición

Comenzamos tomando producto escalar a ambos lados:

haciendo por partes dos veces :

Es inmediato reconocer los términos :

“términos de contorno desconocidos” =

Se habrá notado que el operador adjunto de es él mismo (operador autoadjunto)

En vista de estos resultados parece razonable intentar que :

y

Nótese que con esta elección los términos de contorno “desconocidos” se anulan y que por lo tanto tenemos que el miembro izquierdo de la igualdad:

y por lo tanto:

Es la solución buscada. Resolvamos pues :

en 0<x<x’

en x’<x<1

Por lo tanto debemos exigir alguna restricción adicional a g(x,x’) para poder resolver, notar que:

Pese a la discontinuidad de la primera derivada impondremos continuidad a la función :

de donde obtenemos que

en

en

luego se obtiene finalmente que:

Finalmente veamos el problema siguiente

Sujeto a las condiciones y :

y suponiendo ques que lo suficientemente rápido cuando

Considérese ahora el operador lineal y la ecuación :

Integrando por partes :

identificando términos

“términos de contorno desconocidos” =

Ya que y son términos conocidos podemos exijir y los términos de contorno desconocidos quedaran como:.

términos de contorno =

donde ahora todos estos términos de contorno son conocidos

Además

Proponemos como solución :

con

latex x>x’$

Aplicando las condiciones de contorno obtenemos que asi que para

integrando la ecuación diferencial:

De donde tenemos que

si

si

Tenemos que por tanto:

La cual es una ecuación integral de volterra de segunda especie.

Repitiendo el proceso para la misma ecuación con las condiciones de contorno:

Suponiendo que lo suficientemente rápido cuando llegamos a la ecuación integral :

La cual es una integral de Fredholm de segunda especie.

Esta integral sirve para el calculo de los coeficientes de irreflexión R y T así como , por un método de aproximaciones sucesivas generar las series de Born.

En general es más difícil resolver una ecuación integral que una ecuación diferencial, sin embargo transformar ecuaciones diferenciales en ecuaciones integrales puede facilitar enormemente el estudio de existencia y unicidad, el espectro de autovalores y el estudio de la analiticidad de la solución. Además las ecuaciones integrales son la vía para obtener las soluciones perturbadas de muchos sistemas físicos de interés y aparecen cuando se aplica el calculo variacional a la resolución de ecuaciones diferenciales para la estimación de soluciones aproximadas y autovalores aproximados..

module mod_angle ! fichero: mod_angle.f95
implicit none ! las variables se declaran explictamente
type Angle ! la estructura Angle es public pero sus miembros
private ! privados
real :: rad
end type
! constantes
INTEGER, PARAMETER :: DP = KIND (1.d0)
REAL, PARAMETER :: PI_VALUE = 3.141592653589793238462643_DP
real, parameter:: Deg_Per_Rad = 57.2957795130823209d0
contains ! all procedures
!public constuctors
function Angle_ (r) result (ang) ! public constructor
real, optional :: r ! radians
type (Angle) :: ang
if ( present(r) ) then
ang%rad = Angle(r)! intrinsic constructor
else
ang%rad = Angle(0.0)! intrinsic constructor
end function Angle_
!public procedures
function get_rad (ang) result (r)
type( Angle), intent(in) :: ang
real :: r
r = ang%rad
end function get_rad
subroutine set_rad (ang,r)
type (Angle), intent(out) :: ang
real, intent(in) :: r
ang%rad = r
end subroutine set_rad
subroutine print_angle (ang)
type (Angle), intent(in) :: ang
print *, 'Angle = ', ang%rad, ' radians (', &
Deg_Per_Rad * ang%rad, ' degrees)'
end subroutine print_angle
end module mod_angle

Hemos definido un módulo que tiene un miembro privado real::rad y un miembro público print_angle, también se ha definido un constructor con un argumento opcional de tal forma que una llamada al constructor Angle_ sin argumentos, Angle_() , nos creará un objeto ángulo con valor cero radianes y una llamada con argumentos, nos creará un objeto con el valor que se le indique en el argumento, Angle_(2.15). Al haber declarado el miembro rad del módulo private, no podremos acceder a él desde fuera del módulo , para conseguir acceso al dato hemos definido otros dos procedimientos públicos, una función get_rad y una subrutina set_rad, que nos permitirán obtener una copia del valor del miembro rad y también modificar este valor, mediante las llamadas a get_rad y set_rad respectivamente.

Ahora vamos a agregar una interfaz al modulo anterior para así sobrecargar los operadores aritméticos +,-,* y / definidos en Fortran. Deseamos que el resultado de una suma, resta, producto o división de ángulos sea siempre un ángulo positivo y comprendido en la primera vuelta, es decir, con valor entre 0 y 2 pi radianes

Empezamos por definir una función auxiliar que nos convertirá un ángulo cualquiera, en el ángulo positivo comprendido entre 0 y 2pi correspondiente.

function crop_angle(a) result (b)
type (Angle), intent(in) ::a
type (Angle) :: b
if (a%rad < 0.0000001) then
b%rad = floor(-a%rad/(2*PI_VALUE)) * 2 * PI_VALUE + a%rad + 2 * PI_VALUE
else
b%rad = a%rad - floor(a%rad/(2*PI_VALUE)) * 2*PI_VALUE
end if
end function crop_angle

Ahora definimos la función que sumara dos de nuestros ángulos :
function add_angles (a,b) result (c)
type(Angle), intent(in) :: a,b
type (Angle) :: c
c%rad = a%rad + b%rad
c%rad = crop_anlge(c%rad)
end function add_angles

Una vez tenemos nuestra función suma, podemos usarla directamente cómo cualquier otra función del módulo :
type(Angle) :: alpha,beta,epsilon
alpha = Angle_(3.1415); beta = Angle_(1.62)
epsilon = add_angles(alpha,beta)


sin embargo tendremos un código mucho más claro y sencillo de leer si sobrecargamos el operador + de Fortran lo que nos permitirá trata la suma de los objetos ángulos cómo simples números

type (Angle) :: a,b,c,d,e,f
f = a + b + c + d + e


Sin sobrecarga deberíamos escribir:

e = add_anlges(add_angles( add_angles(a,b),add_angles(c,d)) , e)


Para sobrecargar el operador + deberemos agregar la interfaz siguiente a nuestro módulo

interface operator (+)
module procedure add_angles
end interface
Actuando de manera análoga para los otros tres operadores aritméticos definidos en Fortran, tenemos el módulo implementado cómo sigue, nótese que hemos declarado private la función auxiliar crop_angle y que la usamos dentro del constructor Angle_ para convertir cualquier ángulo a los valores deseados, por ejemplo, si el usuario introduce el valor 3pi mediante el constructor Angle_(3*PI_VALUE) el valor del campo rad sera automáticamente cortado a PI_VALUE:

module mod_angle ! fichero: mod_angle.f95
implicit none ! las variables se declaran explictamente
private :: crop_angle
type Angle ! la struct Angle es public pero sus miembros
private ! privados
real :: rad
end type
! constantes
INTEGER, PARAMETER :: DP = KIND (1.d0)
REAL, PARAMETER :: PI_VALUE = 3.141592653589793238462643_DP
real, parameter:: Deg_Per_Rad = 57.2957795130823209d0
! sobrecarga de operadores
interface operator(+)
module procedure add_angles
end interface
interface operator(-)
module procedure subs_angles
end interface
interface operator(*)
module procedure mult_angles
end interface
interface operator(/)
module procedure div_angles
end interface
contains ! all procedures
!private procedures
function crop_angle(a) result (b)
type (Angle), intent(in) ::a
type (Angle) :: b
if (a%rad < 0.0000001) then
b%rad = floor(-a%rad/(2*PI_VALUE)) * 2 * PI_VALUE + a%rad + 2 * PI_VALUE
else
b%rad = a%rad - floor(a%rad/(2*PI_VALUE)) * 2*PI_VALUE
end if
end function crop_angle
! operator overload
function add_angles (a,b) result (c)
type(Angle), intent(in) :: a,b
type (Angle) :: c
c%rad = a%rad + b%rad
c = crop_angle(c)
end function add_angles
function subs_angles (a,b) result (c)
type(Angle), intent(in) :: a,b
type (Angle) :: c
c%rad = a%rad - b%rad
c = crop_angle(c)
end function subs_angles
function mult_angles (a,b) result (c)
type (Angle), intent(in) ::a,b
type (Angle) :: c
c%rad = a%rad * b%rad
c = crop_angle(c)
end function mult_angles
function div_angles (a,b) result (c)
type(Angle), intent(in) :: a,b
type (Angle) :: c
c%rad = a%rad / b%rad
c = crop_angle(c)
end function div_angles
!public constuctors
function Angle_ (r) result (ang) ! public constructor
real, optional :: r ! radians
type (Angle) :: ang
if ( present(r) ) then
ang = Angle (r) ! intrinsic constructor
ang = crop_angle(ang)
else
ang = Angle (0.0) ! intrinsic constructor
end if
end function Angle_
!public procedures
function get_rad (ang) result (r)
type( Angle), intent(in) :: ang
real :: r
r = ang%rad
end function get_rad
subroutine set_rad (ang,r)
type (Angle), intent(out) :: ang
real, intent(in) :: r
ang%rad = r
end subroutine set_rad
subroutine print_angle (ang)
type (Angle), intent(in) :: ang
print *, 'Angle = ', ang%rad, ' radians (', &
Deg_Per_Rad * ang%rad, ' degrees)'
end subroutine print_angle
end module mod_angle

Ahora vamos a aprovechar un poco más la sobrecarga y sobrecargar aun más , el operador * para poder usarlo además de en el producto de dos ángulos en el producto de un ángulo por un escalar real, para ello definimos dos funciones como sigue:
function mult_r_angle(r,a) result (b)
real, intent(in) :: r
type(Angle),intent(in) :: a
type(Angle) :: b
b%rad = r * a%rad
b = crop_angle(b)
end function mult_r_angle
function mult_angle_r(a,r) result (b)
type(Angle),intent(in) :: a
real, intent(in) :: r
type(Angle) :: b
b%rad = a%rad * r
b = crop_angle(b)
end function mult_angle_r
y modificamos el bloque interface operator (*)
interface operator(*)
module procedure mult_angles,mult_r_angle,mult_angle_r
end interface
Ahora podremos hacer las siguientes operaciones :
type (Angle) :: a,b,c
real :: num
b = num * a ! se llamara a la funcion mult_r_angle
b = a * num ! se llamara a la funcion mult_angle_r
b = a * c ! se llamara a la funcion mult_angles

Ahora realizamos la misma operación para la división de un ángulo entre un escalar real. Al dividir un ángulo entre un escalar nos quedará otro ángulo expresado en radianes, pero si tratamos de dividir un escalar real adimensional entre un ángulo, nos quedaría una nueva magnitud expresada en rad^-1, por lo tanto daría lugar a otro tipo de objeto, razón por la cual, solo definiremos la función div_angle_r , por lo tanto una sentencia :
b = a / num ! correcta
num / a ! error en tiempo de compilacion no hay funcion asociada a la operacion
Definimos esta funcion:
function div_angle_r(a,r) result (b)
type(Angle),intent(in) :: a
real, intent(in) :: r
type(Angle) :: b
b%rad = a%rad / r
b = crop_angle(b)
end function div_angle_r
y su interfaz quedaria ahora:
interface operator(/)
module procedure div_angles,div_angle_r
end interface

Seguramente tras habernos tomado la molestia de sobrecargar los operadores, no desearemos que los usuarios de nuestro módulo accedan directamente a las funciones add_angles, sub_angles… etc, para lo cual declararemos estas funciones private. El módulo final lo hemos guardado en el archivo mod_angle.f95 y lo hemos compilado usando el compilador gfortran con la siguiente orden:
$ f95 -c mod_angle.f95
lo que nos creará dos archivos, mod_angle95.mod y mod_angle95.o

Si queremos usar este módulo desde otro subprograma, programa principal , subprograma externo u otro módulo deberemos usar la sentencia
use mod_angle.
lo que hará automáticamente disponible el módulo dentro del scope donde hayamos usado la sentencia use.

Para ilustrar el uso de este módulo escribiremos este mini programa
program test
use mod_angle
type (Angle) :: a,b,c,d,e
real :: num = 3.5
a = Angle_(1.5); b = Angle_(2.1)
c = Angle_(7.4); d = Angle_(0.7)
e = a + b + c + d
call print_angle(e)
e = e / num
call print_angle(e)
e = e * num
call print_angle(e)
e = num * a/2.1 - b
call print_angle(e)
end program test
lo guardamos en el fichero test.f95 y compilamos con :
$ f95 -o test test.f95 mod_angle.o

Las principales ventajas de usar los módulos de Fortran son la reusabilidad del código, y facilitar su mantenimiento. Declarando públicas solo alguna de las funciones del módulo y privadas el resto, tenemos un control total sobre cómo accederán los usuarios de nuestro módulo a la funcionalidad que este ofrece. Mantener oculta la implementación nos permite poder modificar la implementación de estas funciones sin que ninguno de los usuarios tengan que cambiar ni una sola linea de código en ninguno de sus programas. La sobrecarga de operadores nos permite tratar los problemas científicos de una forma mucho mas natural, definiendo operaciones entre cualquier tipo de estructuras algebraicas, por ejemplo, nos permite una implementación casi directa de los algoritmos matemáticos desarrollados en las ciencias que manejen estas estructuras.

La reusabilidad de código adquiere toda su potencia mediante el uso de la herencia, con la herencia podemos definir módulos de tipo muy general que cada usuario podrá adaptar fácilmente a su problema especifico heredando nuestro módulos, esto nos permite además ampliar nuestra biblioteca de módulos, con los módulos que los usuarios van creando. En el próximo articulo daremos una pequeña demostración de como podemos usar en Fortran 90 95 la herencia.

Se presentan mediante un ejemplo resuelto , los circuitos lineales resistivos. Estos circuitos aparecen a menudo en electrónica, sobre todo en los modelos eléctricos de dispositivos electrónicos. Se mostrará como obtener la La característica voltaje corriente de este circuito.
La característica voltaje corriente de un elemento de circuito es la relación entre la corriente que pasa por el elemento y el voltaje entre sus terminales. Por ejemplo en una resistencia ohmnica tenemos que por lo tanto y
EL concepto de característica se extiende a cualquier grupo de elementos interconectados, dando la relación de voltaje corriente entre los terminales del puerto de todo el grupo de elementos. Esto permite tratar un circuito completo como si fuera un único elemento atendiendo a su característica voltaje corriente.

En un circuito lineal tenemos que la relación corriente voltaje es lineal. Por ejemplo un circuito que tenga la relación dada por

será un circuito lineal, en realidad no estamos limitados a que los coeficientes a, b, c, d sean números reales si no que podrían ser cualquier operador lineal como el operador dervida o integral, el circuito descrito por al característica

es también un circuito lineal.

Si tenemos una característica en la forma diremos que y son las entradas e es la sálida o respuesta a esas entradas también llamadas excitaciones. En el caso de tener e son las excitaciones o entradas y la respuesta o salida.

La propiedad principal de los circuitos lineales es la superposición, la respuesta del circuito es la suma de las respuestas a las entradas individuales. Es decir que si tenemos un circuito de dos entradas y dado por , sea la respuesta a la entrada (con ) e la respuesta a la entrada (con ) entonces la respuesta cuando tengamos las dos entradas conectadas a la vez será

Un circuito que solo tenga resistencias, fuentes lineales dependientes y fuentes independientes es un circuito lineal resistivo.
Una fuente lineal dependiente es lineal si su característica puede expresarse de cualquiera de estas formas

fuentes de voltaje:


fuentes de intensidad

aplicaremos estos hechos al circuito de la figura para hallar su característica:

Para hallar la característica seguiremos el siguiente método:

1.Hallar el voltaje en circuito abierto
2.Hallar la pendiente de la característica dada por
3.hallar la corriente en cortocircuito

Hallar el voltaje en circuito abierto

Para hallar el voltaje en circuito abierto, usaremos la superposición primero hallamos la respuesta del sistema con como vemos en la figura de abajo la corriente a través de la resistencia es y la tension en terminales

Ahora cortocircuitando la fuente el circuito queda como en la figura de abajo

Ahora la corriente a través de la resistencia es y la tension en terminales sera

Aplicando el principio de la superposición la tensión de circuito abierto total es:

Hallar la pendiente de la característica dada por

Para hallar la pendiente de la característica procedemos a cortocircuitar todas las entradas, quedando el circuito cómo sigue:

Al cortocircuitar ambas fuetnes la resistencia ha quedado sometida a un voltaje nulo y por lo tanto la intesidad es , lo que hace que la fuente dependiente quede en abierto. Por lo tanto de la figura tenemos que la corriente a través de la resistencia es tambien vemos que de donde:

hallar la corriente en cortocircuito

La corriente en cortocircuito es la corriente que fluye por la s terminales cuando la tension aplicada es cero , por ser el circuito lineal sabemos que

en abierto sabemos que y de donde

La característica finalmente pedida es

Nótese que en la gráfica podemos leer con toda facilidad la corriente en cortocircuito , para $v_x=0$ así cómo, la tensión en circuito abierto para $i_x=0$

Así que ya lo sabéis, que no os la cuelen: el dinero es una mentira.

Debido a que la electrónica moderna esta basada en los dispositivos de estado sólido, un conocimiento profundo de los mismos resulta necesario para formarse una buena base.

En los circuitos electrónicos, además de los dispositivos de estado solido, encontraremos elementos pasivos como resistores , inductores y capacitores, ya sea como elementos físicos o ya sea como parte del modelo eléctrico del dispositivo, por lo tanto un estudio completo de estos circuitos y una clara comprensión de sus alinealidades así como de las implicaciones del proceso de linealización, es también fundamental.

Con todo aquí os dejo la lista de los libros que mas me han gustado a mi, para comenzar con el estudio de la electrónica :

1 Semiconductors fundamentals by Robert F. Pierret
2 The PN junction diode by Gerold W. Neudeck
3 The bipolar junction transistor bt Gerold W. Neudeck
4 Field effect devices by Robert F. Pierret

Para quien quiera profundizar mas en los propios fundamentos físicos de estos dispositivos , están estos dos libros de la misma serie :

5.Introduction to microelectronics fabrication by Richard C. Jaeger
6. Advanced Semiconductor fundamentals by Robert F. Pierret

Enlo que respecta la teoría de circuitos, el libro mas completo y claro que he encontrado es el siguiente :

7. Linear and non linear circuits by Leon O. Chua

Empezamos hablando que C es un lenguaje de programación digamos viejo el cual da una flexibilidad sin
igual, debido a que es considerado de lo mas cercano al lenguaje ensamblador (lenguaje máquina, instrucciones de procesador, como querais llamarlo). Es tal su potencia que fue un lenguaje creado para hacer un tanto portable al sistema conocido como UNIX, debido a que en vez de usar instrucciones propias del procesador que lo ejecuta, usa un lenguaje human-like (a veces no xD) para decirle al procesador que ha de hacer.

C ha sido creado por Dennis Ritchie en el ’72 (esa época llena de discotecas, bailes tontos y drogas psicodélicas, de ahí que como vanguardia saliera) para usarlo en UNIX (que al final se ha usado en UNIX, Linux, Windows y muchos mas, así como un incontable número de programas). Pero bueno, pasemos de historia (que Wikipedia la tiene al completo) para pasar al lío.

PROGRAMA:

Los programas se hacen escribiendo archivos de texto con la extensión .c o .h. El compilador lo que suele hacer con ellos es transformarlos en archivos objeto o en el binario en sí. No voy a entrar en deliberaciones de cuales son las funciones de un compilador, un enlazador, etc, simplemente quedarnos en la mollera que un compilador vale para hacer programas desde archivos de texto. Dejémoslo en que cojemos el .c y lo transformamos en un binario .o (no ejecutable, realmente no está enlazado) o el binario. Ya explicaré de esto.

C es un lenguaje funcional. ¿Qué es esto? Pues un lenguaje de funciones. Más simple por favor. El programa se divide en funciones la cual ejecuta una operación determinada que en conjunto realizan algo útil (o no util, depende xDDD) para satisfacer esas ganas que tenemos de que algo nos obedezca. Empiezo explicando que la parte donde empieza a ejecutarse un programa es una función. Realmente, sin entrar en detalles se empieza a ejecutar en otro lado, pero eso es porque C vale para muchos sistemas, no obstante al haber hecho unas operaciones que realmente nos dan igual (no es el motivo de este post), acabamos entrando en nuestro programa para hacer lo que queramos.

Esta función es conocida como main() y he aquí el programa más simple de C:

int main(int argc, char** argv) {return 0 ;}

Este programa no hace nada. Entra en lo que hemos programado y sale, pero al menos ya sabemos algo. main() es la funcion principal de todo programa en C. Pero hay una cuestión… Windows ha modificado esto a su medida para sus aplicaciones windows (se llama WinMain la función, en vez de main) y para nada se parece a esto. Más adelante en el cursillo de C explicare cosas de esto.

Ahora no debemos de preocuparnos de que va todo esto de la función main. Cuando hable de funciones se entenderá todo mejor. Por el momento sólo hemos de quedarnos que todo programa tiene una función principal que es donde se salta en sí a nuestro programa y donde este se ejecuta.

COMENTARIOS

Que que es un comentario… Pues una parte de la cual el compilador pasa. Se usan para comentar… o sea, para volver a ver en un futuro el código y como uno es precavido (siempre se dejan piezas de código por los CD’s perdidos) la ha comentado y como no se acuerda de que ha hecho, entonces ahi lo tiene explicado.

Si no tengo mal entendido, existen dos tipos de comentarios. Los propios de C y los de C++ que son tan molones que se han incluido… De tal manera que vamos a ampliar nuestro programa poniendo dos o tres líneas tal que:

/* Esto es un comentario de C */

// Esto es un comentario de C++

Los comentarios de C pueden ser multilinea en el sentido de que empiezan en /* y terminan en */. Uno leyendo código se puede encontrar todo tipo de florituras y adornos en los comentarios multilínea.

Los comentarios de C++ solo tienen una línea. Empiezan en // y terminan en el final de línea. Poner /// o //// o sucesivamente tambien hace un comentario de línea.

Los comentarios de C no se pueden enlazar en plan /* comentario /* gili***** */ de C */ o sea, no puede haber comentarios dentro de comentarios de C. Creo que queda explicado… si no a leer en otro lado.

VARIABLES I. Tipo CHAR.

Sin entrar en detalle con respecto a lo de main, los programas contienen variables. Podríamos definir una variable como un espacio donde podemos colocar cualquier dato. Existen distintos tipos de datos, char, short, int, float, double. Miento, puede haber más pero hablare de ello si sigo escribiendo.

Las variables char son, como su nombre indica (miento) carácteres. ¿Tito Arika. de que nos vale un carácter? Probablemente para alojar la letra de un DNI. No obstante muchos no saben que la letra del DNI es condicional del número del mismo. No vale de mucho, no. Lo que vale es que las variables char alojan (ejem, al menos en un ordenador normal) 1 byte (8 bits) de espacio en memoria. Eso te permite combinaciones distintas. A esto me refiero que C es tan flexible que no solo puedes alojar el propio tipo de dato en una variable. Realmente lo que alojas en la variable es un número. En todos los casos es un número, que es lo que el ordenador entiende. Miremos varios ejemplos de declaración de declaración (reserva de espacio) variables y luego explico el resto…

int blah ; /// Declaro blah como entero, recordemos de paso que todas las sentencias en C terminan con ;

char letra_dni ; /// La letra del DNI, de tipo char… float Pi ;

/// Numero de coma flotante, lo usaremos luego…

double pi ; /// Aunque sigamos en nuestro programa, esta variable no es la misma debido a que C es case insensitive,

/// o sea, Pi es distinto a PI es distinto a pI es distinto a pi.

O sea, hemos visto hasta ahora que C es un lenguaje Case-insensitive y que las variables se declaran de la forma:

<tipo> <nombre de variable> ‘;’

Todas las sentencias en C terminan en ‘;’. Esto es como un “fin de sentencia”. Esto lo explicaré más a fondo después.

Las variables se declaran de esa manera. No obstante, cuando introduzca operadores en el siguiente capítulo, si lo hago, diré despues de presentar el “operador de asignación” que las variables se pueden declarar y a su vez establecerles un valor predeterminado que tendrá al ser alojada en memoria.

VARIABLES I. Tipo INT.

Int no es más que el tipo de variable que aloja 32 bits, o sea, combinaciones distintas. Podría (y es) visto como un número entero. Esta digamos que es la variable de tipo numérica básica.

VARIABLES I. Tipo SHORT.

Short es el tipo que aloja 16 bits. Es como INT pero de la mitad de tamaño. Se usa para ahorrar 2 bytes de memoria por variable, cosa tonta con los ordenadores de hoy en día (Supongamos que no vamos a usar en nuestra variable valores distintos).

VARIABLES I. Tipo FLOAT

Del mismo tamaño que INT (32 bits) aloja 32 bits de tamaño. Resulta tonto usarla cuando se pueda usar un INT. ¡Oh no! Esta variable se usa para cálculo de punto flotante, o sea, decimales. Tiene un problema… 2 + 2 en un Pentium de los viejos da de resultado 3.99999… esto es, tiene un error de precisión en sus calculos, pero se usa bastante para cálculos de punto flotante que no requieren ser “exactos”

VARIABLES I. Tipo DOUBLE

El nombre viene de doble precisión. Es como un float pero que no debe fallar en las operaciones. Tiene un penalty. Hacer calculos con doubles es más lento que hacer cálculos con float. Ganamos precisión, pero perdemos velocidad… Así pues podríamos hacer una operación ahora tal que:

double Pi = 3,141592653 ;

Este es un ejemplo de declaración de variable con asignación de valor predeterminado… No obstante como hemos visto los números con decimales se escriben de la forma <parte entera>,<parte decimal>.

Dejando ya este aburrimiento, continuaremos las lecciones en sucesivos capítulos hechos con más tiempo y más amor. Hemos abierto un poco (no mucho) la boca y vamos a pasar a un programa de verdad… el Hola Monocuanticos…

/// Esto se le llama preprocesador y hace guapadas como incluir (o sea, hacer copy paste) de archivos en este.
/// Empiezan con # y bueno… lo explicaré en un futuro.
#include <stdio.h>
/// La función main() de la que hablabamos antes. Hablaremos mucho de ellas en el capítulo de
/// Funciones… Ya se verá.
int main( int argc, char** argv)
/// Estos { son una manera de agrupar las sentencias… también he de hablar de ellos
{
/// Llamamos a la función printf(), definida en la cabecera stdio.h incluida antes (miento, ahí solo
/// hay un prototipo (también lo explicaré)) de ella. Imprimimos “Hola Monocuánticos” y ese
/// \n dice “ponme una nueva línea” wwooooooooooooowww

printf(“Hola Monocuánticos!\n”) ;
/// Esto le decimos que devuelva un numero al programa (mismo la shell) que ejecuto nuestro programa

/// Se supone que cero es que no hay errores… devolvemos 69 para hacer el tonto un rato.

return 69 ;

}

/// Por cada { hay un }, simple

Como veis, hasta en el programa más simple hay meollo… Es un idioma muy bonito… un día tuve un amigo que cuando le pregunte que si hablaba idiomas me contesto “Español, Inglés y C”. Muy freak. Espero que el capítulo 2 sea mejor que este… Este lo he hecho muy guarro para escribir algo xDDDDDD

Mañana más serio y mejor ^^

Saludos!

Happy Codding!

ARK-

PS: ESTO NO VALE MUCHO. YA LO MODIFICARÉ—-

Aunque a primera vista este resultado parezca muy difícil de probar, su demostración es sorprendentemente corta y elemental. El objetivo de este artículo es demostrarlo mediante el teorema de Mason-Stothers, un sorprendente teorema sobre polinomios que tiene muchas aplicaciones más allá del teorema de Fermat.

Para ello primero enunciamos y demostramos el teorema de Mason-Stothers. En lo que sigue consideraremos todos los polinomios con coeficientes complejos ( en , aunque en realidad sirve cualquier cuerpo algebraicamente cerrado en lugar de , y definimos como el número de raíces distintas de .

Teorema de Mason-Stothers: Sean a(x), b(x), c(x) polinomios coprimos tales que . Entonces,

Demostración:

Partiendo de dividimos la igualdad por c, y definimos , . Obtenemos , donde f, g son funciones racionales. Derivando tenemos , que reescribimos como , por tanto, .
Llamemos , , .

Se deja como sencillo ejercicio al lector comprobar que , y , de manera que es un denominador común de y de grado (tiene un factor por cada raíz del polinomio abc).
También tenemos que .
Además, y son polinomios de grado como máximo , ya que y cada sumando es de grado .
Del hecho de que , y que hemos supuesto que b y a son coprimos, tenemos que b divide a y análogamente para a, lo que implica y , y por tanto, a y b (y también ) son como máximo de grado . Por tanto vemos que , como queríamos demostrar.

Deducimos ahora el último teorema de Fermat para polinomios como sencillo corolario del teorema anterior:

Último teorema de Fermat para polinomios: Sean a(x), b(x), c(x) polinomios coprimos tales que al menos uno es de grado . Entonces la ecuación no tiene solución para .

Demostración:
Tenemos que:
donde la primera desigualdad es obvia, la segunda desigualdad es el teorema de Mason-Stothers, la igualdad central es debido a que y tienen el mismo número de ceros (al elevar no se añaden ni se quitan raices a un polinomio) y la última igualdad a las propiedades del grado (el grado de producto de polinomios es la suma de los grados de los polinomios).

Repitiendo lo mismo para y para tenemos:
, y
.
Sumando las tres desigualdades obtenemos:
, o lo que es lo mismo , desigualdad claramente falsa para ya que por hipótesis. Con esto queda probado el último teorema de Fermat para polinomios.

Es de destacar el fuerte contraste entre la demostración del último teorema de Fermat para números enteros (que implica técnicas algebraicas realmente avanzadas, como formas modulares y teoría de Galois, y cuya demostración ocupa más de 100 pags) con la increible simplicidad del resultado polinomial.

Curiosamente, esta situación se repite con el análogo del teorema de Mason-Stothers para números enteros, que es un importante problema todavía no resuelto de teoría de números, la conjetura abc. ¿Quién iba a pensar que los enteros serían mucho más difíciles de tratar que los polinomios?
La pregunta natural a hacer es: ¿de igual modo que Mason-Stothers implica el teorema de Fermat para polinomios, implica la conjetura abc el último teorema de Fermat para enteros? La respuesta es no, sin embargo sí que implica una forma más débil del teorema de Fermat, el teorema asintótico de Fermat, que dice que la ecuación no tiene solución para n suficientemente grande.

Referencias: Este artículo es una versión comentada y ampliada de la demostración que se puede encontrar en el libro Algebra de Serge Lang, Ed. Springer págs. 194-195. Se refiere a los lectores interesados en el tema a consultar el libro citado, que incluye a final del capítulo una extensa bibliografía especializada sobre el tema.

El triángulo de la figura tiene un angulo recto en el vértice B, el vértice A gira con velocidad angular constante radianes por segundo, en torno al eje Z describiendo una circunferencia de radio metros, el vérticie B desliza sobre una guia traslandandose sobre el eje OY y el vértice C se mueve manteniendose apoyado sobre el plano X=-R; Sabiendo que el lado BC mide metros y el lado AB mide metros, calcular en el instante en el que el angulo es de 45 grados:

1) La velocidad de los puntos B y C
2) El eje instantáneo de rotacion y deslizamiento
3) la velocidad de deslizamiento

Conocida la velocidad del punto A del triángulo, por tratarse este de un sólido rígido deberíamos ser capaces de obetener la velocidad de cualquier otro punto, habida cuenta de que el sólido rígido se mantiene indeformable. Este hecho se expresa matemáticamente mediante la expresión del campo de velocidades del sólido rigido.

La velocidad del punto B del sólido rígido es igual a la velocidad del punto A del sólido rígido más el producto vectorial del vector rotación instantáneo por el vector , relación que se cumple para cualesquiera par de puntos del sólido rígido. Dicha ecuación se obtiene de la aplicación de la regla de Boure para la derivación de vectores que vienen expresados en bases ortonormales que a su vez dependen del tiempo.

En este problema no sabemos, ni necesitamos saber, cuáles son las acciones que se ejercen sobre el cuerpo para que el punto A describa el movimiento de rotación circular indicado, sea cuales sean las causas que originan ese movimiento del punto A, conocido este dato podemos determinar de la geometría del problema la velocidad de cualquier otro punto. Este tipo de problemas son conocidos como problemas de cinemática del sólido rígido que contrasta con los problemas de dinámica, en los cuales, se nos dice las fuerzas y acciones que se ejercen sobre el cuerpo rígido y debemos deducir el movimiento subsecuente del cuerpo.

Centrándonos en el problema, tenemos que para los puntos B y C del triángulo rígido

para hallar estas dos velocidaddes necesitamos hallar también el vector rotación instántanea

De la geometría del problema deducimos que

y de donde

y

Sea , por ser el ángulo en la arista B rectángulo

, aplicando la condición de perpendicularidad, tenemos que :

por otro lado

De la primera ecuación tenemos que que substituyendo en la segunda nos queda:

cuyas soluciones son:

de las cuales solo obtenemos $z>0$ para la solución con lo que tenemos que :

y

Así estamos ya en condiciones de abordar el cálculo de las velocidad de los puntos B y C de nuestro sólido rígido, fijándonos en el que la velocidad del punto B solo tiene coordenada no nula en la dirección

La velocidad del punto A es de donde obtenemos con lo que podemos reescribir la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, como sigue:

o en forma matricial
(1)
Lo que nos queda un sistema compatible indeterminado.

Utilizaremos el hecho de que el punto C esta limitado a moverse en el plano para re escribir la ecuación como sigue

De la ecuación en la componente x tenemos que Utilizando este resultado en la primera ecuación del sistema (1) tenemos que:
y
De la tercera ecuación del sistema (1) se sigue que y asi pues el vector rotación instantánea queda

sustituyendo en el sistema (2) obtenemos directamente la velocidad del punto C:

EL eje instantáneo de rotacion y deslizamiento es el lugar geometrico de los puntos de mínima velocidad, sabemos que estos puntos estan en una dirección paralela al vector rotación instantanea y que la ecuacion de dicho eje, dada en forma vectorial es:

(3)

Es decir, a medida que el punto B se traslade con el resto del sólido rigido , el eje de rotación y deslizamiento se traslada a su vez, en el instante el que hemos considerado para la resolción del problema (cuando el angulo es 45° el eje instantaneo de rotación y deslizamiento es un recta paralela al vector rotación instantanea dada por la ecuacion (3)

La velocidad de deslizamiento es la velocidad del eje de rotación y deslizamiento, que es la proyección del vector velocidad sobre el eje instantáneo de rotación y deslizamiento

En este punto es importante recordar que la cantidad escalar es un invariante del sistema que se conoce como el segundo invariante del campo de velocidades y por tanto es independiente del punto del sólido rígido. a saber:

De paso mencionaremaos que el primer invariante del campo de velocidades de un solido rigido es el vector rotacion instantanea , es decir, en cada instante el vector vale lo mismo en todos los puntos del solido. Para mostrar esta invariancia consideremos tres puntos cualesquiera de un solido rigido A , B y C y supongamos que el vector rotacion instantanea no es invariante si no que depende del punto, supongamos que en el punto A el vector rotacion instantanea vale y que en el punto B vale tendriamos entonces que:

donde por hipotesis

de donde se sigue que

Por otro lado se tiene que en el punto C el campo de velocidades es tambien:

igualando las dos expresiones que hemos obtenido para tenemos que:

de donde se tiene que

Y como esta relacion debe cumplirse para todo par de puntos B y C se sigue que necesariamente

El valor del escalar invariante sirve para clasificar los diversos movimientos de un sólido rígido:

Movimiento general
Movimiento degenerado, caso en lo que cabe destacar varias posibilidades:
1) y Rotación instantánea, En este caso la velocidad de deslizamiento del eje de rotación y deslizamiento sera cero en cada instante lo que implica que los puntos del sólido en ese eje no se mueven, el movimiento se reduce a un giro infinitesimal en torno a ese eje que recibe el nombre de eje instantáneo de rotación.

2) y translación instantánea todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad, en el caso mas trivialm todos los puntos del cuerpo tendrán velocidad nula. con lo que el sólido estaría en reposo.

Por último cabe remarcar que la translación instantánea no es igual a la translación permanente que se produce cuando el vector rotación instantánea en todo instante , el cuerpo se traslada sin girar.

Dificultad: Fácil

Nota: Hay soluciones muy variadas, por eso he puesto que es de categoría general, aunque creo que encajaría mejor en la de cálculo y análisis.

Y aquí el reto:

Demostrar si

ó

Esta noche a lo mejor pongo otro reto .

Solución en pdf